1、证明：存在无穷多个正整数K,使得对每一个质数P

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1显然令K=mP(其中的m是取正整数）则P*P+K=P*P+mP=P*(P+m)这里P是一个质数,(P+m)>1,所以该数是合数由于m可以无穷的取,所以K也是存在无穷多的.2题目的理解,如8,8=2³因为找它不同质因子的个数,3个2相同故它只有一个不同的质因子,再如70=7*2*5有三个不同的质因子,对于N含2是,取A=2N,B=N,这样A只是N中的质因子2的次数增加1,不同的质因子的数目不变,故所取符合要求,一下不再说明,当N不含2不含3时,则A=3N,B=2N时,A中比N含有的个数增加1,B也比N中的个数增加1,仍符合要求,当N不含2,含3,不含5时,取A=5N,B=2*2=4N,当N不含2,含3,5,不含7时,取A=7N,B=2*3N=6N,依次类推当N不含2,含3,5,7,...不含p时（2,3,5...p这些质数是顺次排列的）取A=qN(q是比p大与p的差最小的质数）,B=(q-1)N,则A中的质因子比N增加一个q,B中的(q-1)是偶数,有一个2,其他的质因子是3,5,..p中的若干,也是比N增加一个2,它们的不同的质因子的个数相同,符合要求,说明由于N可以无限的取要求质数也是无限的,可以用反证法,设质数有限的有a1,2a,3a.ak就没有质数了,但a1a2a3..ak+1是不能被前边的所有的质数整除,故它也是质数,这样假设不成立所以质数是无限的