Question

如图，在直角坐标系中，正方形ABOD的边长为a，O为原点，点B在x轴的负半轴上，点D在y轴的正半轴上，直线OE的解析式为

Answer 1

解题思路：（1）易知BC=[2/5]a，根据时间的取值范围和正方形的速度可知当0≤t＜4时，B位于C点左侧．那么重合部分的多边形的面积可用平行四边形的面积-△NPQ的面积来求解．可先求出P、C的坐标，然后根据△PNQ与△PDO相似，用相似比求出面积比，进而得出△PNQ的面积．然后按上面所说的多边形的面积计算方法得出S，t的函数关系式；

（2）当4≤t≤5时，重合部分可用平行四边形COPG的面积-△PNQ的面积-△CB1R的面积来求得．方法同（1），得出S，t的函数关系后，可根据函数的性质和自变量的取值范围求出S的最大值及对应的t的值．

（1）当0≤t＜4时，如图1，由图可知OM=[a/10t，

设经过t秒后，正方形移动到A₁B₁MN

∵当t=4时，BB₁=OM=

a

10]×4=[2/5]a

∴点B₁在C点左侧

∴夹在两平行线间的部分是多边形COQNG，其面积为：

平行四边形COPG-△NPQ的面积．

∵CO=[3/5a，OD=a

∴四边形COPG面积=

3

5]a²

又∵点P的纵坐标为a，代入y=2x得P（[a/2]，a）

∴DP=[a/2]，NP=[a/2]-[a/10]t

由y=2x知：NQ=2NP

∴△NPQ面积=[1/2]•NP•NQ=（[a/2]-[a/10]t）²

∴S=[3/5]a²-（[a/2]-[a/10]t）²=[3/5]a²-

a2

100（5-t）²=

a2

100[60-（5-t）²]；

（2）当4≤t≤5时，如图2，这时正方形移动到A₁B₁MN

∵当4≤t≤5时，[2/5a≤BB₁≤

1

2a，点B₁在C、O点之间

∴夹在两平行线间的部分是B₁OQNGR，

即平行四边形COPG被切掉了两个小三角形△NPQ和△CB₁R，其面积为：

平行四边形COPG的面积-△NPQ的面积-△CB₁R的面积

与（1）同理，OM=

a

10]t，NP=[a/2]-[a/10]t，S_△NPQ=（[a/2]-[a/10]t）²，

∵CO=[3/5a，CM=

3

5]a+[a/10]t，B₁M=a，

∴CB₁=CM-B₁M=[3/5]a+[a/10]t-a=[a/10]t-[2/5]a，

∴S△CB₁R=[1/2]CB₁•B₁R=（CB₁）²=（[a/10]t-[2/5]a）2，

∴S=[3/5]a²-（[1/2]a-[a/10]t）²-（[a/10]t-[2/5]a）²=[3/5]a²-

a2

100[2（t-[9/2]）²+[1/2]]，

∴当t=[9/2]时，S有最大值，Smax=[119/200]a²．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查二次函数与相似三角形、平行四边形、正方形、图形的面积求法等知识的综合运用．