1.
由等比中项得3b^2=1-a^2,即a^2+3b^2=1
由柯西不等式得(a^2+3b^2)*(1+3)≥(a+3b)^2,即1*4≥(a+3b)^2,
所以(a+3b)^2≤4,即a+3b≤2
所以a+3b的最大值为2
2.
观察前几项得Sn=2n-1(n是奇数)；Sn=-2n(n是偶数)
代入15 22 31得S15+S22+S31=46
3.
设PF2=m,则PF1=2m
2a=PF1-PF2=m,a=0.5m
P不在x轴上时：
由三角形任意两边之和大于第三边得3m=PF1+PF2＞F1F2=2c
即c＜1.5m
所以,e=c/a＜3
P在x轴上时：
3m=2c,c=1.5m,
此时,e=c/a=3
而双曲线离心率e＞1
综上所述e∈(1,3]