已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,

1个回答

  • (1)

    设A(-a,0)F(c,0)

    则:AF=a+c=3

    由于BC垂直x轴

    则:BC=2b^2/a=6

    又:c^2=a^2+b^2

    则联立以上三式得:

    a=1,b=√3

    则:双曲线的方程:x^2-y^2/3=1

    (2)A(-1,0),F(2,0)

    设直线l斜率为k,D(x1,y1),E(x2,y2)P(xp,yp)

    则l:y=k(x-2)

    联立x^2-y^2/3=1得:

    3x^2-k^2(x-2)^2=3

    (3-k^2)x^2+4k^2x-4k^2-3=0

    则:x1+x2=-4k^2/(3-k^2),x1x2=-(4k^2+3)/(3-k^2)

    由于P为DE的中点

    则:xP=(1/2)(x1+x2)=2k^2/(k^2-3)

    yp=(1/2)(y1+y2)

    =(1/2)[k(x1-2)+k(x2-2)]

    =(1/2)[k(x1+x2)-4k]

    =6k/(k^2-3)

    以AF为直径的圆恰好经过P点

    则:PA⊥PF

    则:向量PA*向量PF=0

    则:(-1-xp,-yp)*(2-xp,-yp)=0

    即:xp^2-xp-2+yp^2=0

    xp,yp代入并化简得:

    3k^2=1

    则:k=±√3/3

    则:l:y=±(√3/3)(x-2)