解题思路：①首先把a+b+c=0变形为b=-a-c，然后代入b2-4ac中利用完全平方公式即可解决问题；
②首先b=2a+3c代入方程的判别式中，然后利用非负数的性质即可解决问题；
③由于b2-4ac＞0，所以抛物线与x轴有两个不同的交点，由此即可判定此结论是否正确；
④由于b＞a+c，只要给出一个反例即可解决问题．
①∵a+b+c=0，
∴b=-a-c，
∴b2-4ac=（-a-c）2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=a2-2ac+c2=（a-c）2≥0，故错误；
②∵b=2a+3c，
∴b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4a2+12ac+9c2-4ac=4a2+8ac+9c2=4（a+c）2+5c2＞0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故正确；
③∵b2-4ac＞0，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是3或2，故正确；
④∵b＞a+c，那么设b=2，a=-4，c=-2，
∴b2-4ac=4-32＜0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，故错误．
故选C．
点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点．
考点点评： 此题主要利用了二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．