解题思路：（1）在AM上截取AN′=CN，连接ON′，OC，OA，根据等边三角形的性质和线段垂直平分线得出∠OCN=∠OAN′=30°，OC=OA，证△OCN≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根据SAS证△MON≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案；
（2）结论还成立，证明过程与（1）类似；
（3）结论是MN=CN+AM，延长CA到N′，使AN′=CN，连接OC，OA，ON′，证△OCN≌△OAN′推出ON=ON′，∠CON=∠AON′，求出∠NOM=∠MON′，根据SAS证△MON≌△MON′，推出MN=MN′，即可求出答案；
（1）MN=AM-CN，
理由是：在AM上截取AN′=CN，连接ON′，OC，OA，
∵O是边AC和BC垂直平分线的交点，△ABC是等边三角形，
∴OC=OA，O也是等边三角形三个角的平分线交点，
∴∠OCA=∠OAB=∠OCN=[1/2]×60°=30°，
∴∠AOC=180°-30°-30°=120°，
∴∠NCO=∠OAN′，
∵在△OCN和△OAN′中
OC＝OA
∠NCO＝∠OAN′
AN′＝CN，
∴△OCN≌△OAN′（SAS），
∴ON′=ON，∠CON=∠AON′，
∵∠COA=120°，∠NOM=60°，
∴∠CON+∠COM=60°，
∴∠AON′+∠COM=60°，
即∠NOM=∠N′OM，
∵在△NOM和△N′OM中
ON＝ON′
∠NOM＝∠N′OM
OM＝OM，
∴△NOM≌△N′OM，
∴MN=MN′，
∵MN′=AM-AN′=AM-CN，
∴MN=AM-CN．
（2）MN=AM-CN，
证明：理由是：在AM上截取AN′=CN，连接ON′，OC，OA，
∵O是边AC和BC垂直平分线的交点，△ABC是等边三角形，
∴OC=OA，由三线合一定理得：∠OCB=∠OCA=∠OAC=30°，∠AOC=180°-30°-30°=120°，
∴∠OCN=∠OAN′=30°，
∵在△OCN和△OAN′中
OC＝OA
∠NCO＝∠OAN′
AN′＝CN，
∴△OCN≌△OAN′（SAS），
∴ON=ON′，∠CON=∠AON′
∴∠N′ON=∠COA=120°，
又∵∠MON=60°，
∴∠MON=∠MON′=60°
∵在△NOM和△N′OM中
点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
考点点评： 本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，主要考查学生的推理能力和猜想能力，题目具有一定的代表性，证明过程类似．