Question

已知二次函数f（x）的最小值为-4，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤3，x∈R}．

Answer 1

（1）∵f（x）是二次函数，且关于x的不等式f（x）≤0的解集为{x|-1≤x≤3，x∈R}，

∴f（x）=a（x+1）（x-3）=a[（x-1） ²-4]（a＞0）

∴f（x） _min=-4a=-4

∴a=1

故函数f（x）的解析式为f（x）=x ²-2x-3

（2）g（x）=

f(x)

x -4lnx = x-

3

x -4lnx-2（x＞0），

∴g′（x）=

(x-1)(x-3)

x 2

x，g′（x），g（x）的取值变化情况如下：

x （0，1） 1 （1，3） 3 （3，+∞）

g′（x） + 0 - 0 +

g（x） 单调增加 极大值 单调减少 极小值 单调增加 当0＜x≤3时，g（x）≤g（1）=-4＜0；

又g（e ⁵）= e 5 -

3

e 5 -20-2＞2 ⁵-1-22=9＞0

故函数g（x）只有1个零点，且零点 x 0 ∈(3， e 5 )