解题思路：（1）求出x=a+1处的导数值即切线的斜率，令其为12，列出方程，求出a的值．
（2）据导函数的形式设出f（x），求出导函数为0的两个根，判断出根与定义域的关系，求出函数的最值，列出方程求出f（x）的解析式．
（1）由导数的几何意义f′（a+1）=12
∴3（a+1）2-3a（a+1）=12
∴3a=9∴a=3
（2）∵f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b
∴f(x)＝x3−
3
2ax2+b
由f′（x）=3x（x-a）=0得x1=0，x2=a
∵x∈[-1，1]，1＜a＜2
∴当x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）
∵f（0）=b，
∴b=1
∵f(1)＝1−
3
2a+1＝2−
3
2a，f(−1)＝−1−
3
2a+1＝−
3
2a
∴f（-1）＜f（1）
∴f（-1）是函数f（x）的最小值，
∴−
3
2a＝−2
∴a＝
4
3
∴f（x）=x3-2x2+1
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；导数的运算．
考点点评： 曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；求函数的最值，一定要注意导数为0的根与定义域的关系．