Question

已知数列{an}的首项a1=2/3 a（n+1)=2an/an+1 n=1 ,2 ,3 ………… 证明数列{1/an—1

Answer 1

(1)a(n+1)=2an/(an+1) 1/a(n+1)=1/2+1/(2an) 1/a(n+1)-1=1/2(1/an-1)

∴{1/an-1}是等比数列

(2)1/an-1=(1/a1-1)*(1/2)^(n-1)=1/2*(1/2)^(n-1)=(1/2)^n

∴1/an=1+(1/2)^n n/an=n+n*(1/2)^n

∴Sn=(1+2+3+……+n)+[1*(1/2)^1+2*(1/2)^2+……+n*(1/2)^n]

设 Tn=1*(1/2)^1+2*(1/2)^2+……+n*(1/2)^n ……（1）

1/2Tn= 1*(1/2)^2+2*(1/2)^3+……+n*(1/2)^(n+1)……（2）

（1）-（2）得：

1/2Tn= 1*(1/2)^1+1*(1/2)^2+……+1*(1/2)^n -n*(1/2)^(n+1)

= 1-(1/2)^n-n*(1/2)^(n+1)

Tn=2-(1/2)^(n-1)-n*(1/2)^n

∴Sn=n(n+1)/2+2-(1/2)^(n-1)-n*(1/2)^n