广东省高州市2010年学科竞赛
数 学 试 卷
说明：全卷共10页,25题,总分120分,考试时间为120分钟.
第一卷（选择题,共2页,满分30分.）
一、精心选一选：（本大题共10小题,每小题3分,共30分.每小题给出四个答案,其中只有一个是正确的,请把正确的答案代号填入第二卷相应空格内.）
1．下列运算正确的是
A． B． C． D．
2．五个互不相等的自然数的平均数是15,中位数是18,则这五个数中最大的数为
A．35 B．36 C．37 ? D．38
3．若每人每天浪费水0.23升,那么500万人每天浪费的水用科学记数法可表示为
A． B． C． D．
4．点A为数轴上表示 的点,当点A沿数轴移动3个单位长度到达点B时,点B所表示的实数为
A．3 B． 或0 C． D．0
5．若代数式 有意义,则 的取值范围是
A． B． C． D．
6．小明从家门口骑车去学校上学,先走平路到达点A,再走上坡路到达点B,最后走下坡路到达学校,所用的时间与路程的关系如图1所示.放学后,如果他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去学校时一致,那么他从学校回到家门口需要的时间最接近的是
A．12分钟 B．15分钟
C．25分钟 D．27分钟
7．在高为4cm,底面边长为18cm的正方形方盒中,装入直径为40mm的标准型号的乒乓球,则最多可装入乒乓球的个数是
A．16 B．18 C．20 D．23
8．如图2所示,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成了一个大正方形.小李同学随机地在大正方形及其内部区域内投针,若直角三角形的两条直角边的长分别为2和1,则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是
A． B． C． D．
9．如图3,反比例函数 的图象与直线 的交点
为A、B,过点A作y轴的平行线与过点B作 轴的平行线
相交于点C,则 的面积为
A．8 B．6 C．4 D．2
10．如图4, 中, 是直角,AB=12cm, ,将 以点B为中心顺时针旋转,使点C旋转到AB延长线上的点D处,则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是（ ）（ ,最后结果保留三个有效数字）
A．113 B．112 C．101 D．114
高州市2010年学科竞赛
数 学 试 卷
第二卷 （非选择题,共8页,满分90分.）
题 号 一 二 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 合计
得 分
评卷人
一、精心选一选：（本大题共10小题,每小题3分,共30分.每小题给出四个答案,其中只有一个是正确的,请把正确的答案代号填入下表相应的空格内.）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案
二、耐心填一填（本大题共5小题,每小题3分,共15分.请把答案填在横线上方.）
11．如图5（A）是长方形纸带, ,将纸带沿EF折叠成图5（B）,再沿着BF折叠成图5（C）,则图5（C）中的 的度数是 .
12．分解因式 = .
13．一个多边形除去一个内角后,其余各内角之和为500 ,则这个角的度数为 .
14．已知 为实数,且 = .
15．如图6所示,在直角梯形ABCD中, , 动点P从点B出发,由 沿边运动时,则 的最大面积为 .
三、细心做一做：（本大题共5小题,每小题7分,共35分.）
16．已知 的值
17．如果一个图形能够分割成若干个与自身相似的图形,我们称它为“能相似分割的图形”.正方形是一个“能相似分割的图形”,如图7所示（图中虚线为分割线,当然还有其他分割法）.
试判断如图8所示的三个图形是不是“能相似分割的图形”,如果是,在图中画出一种分割方法（用虚线画出分割线）
18．如图9所示,在山脚下C处测得山顶A的仰角为 ,沿着坡角为 的斜坡前进1000米到达D点,在D处测得山顶A的仰角为 ,求山高AB（计算结果可保留根号）.
19．某工厂要招聘甲、乙两种工种的工人150人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别为800元和1000元,现要求乙种工种的人数不少于甲工种人数的两倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时,可使得每月所付的工资总额最少?工资总额最小是多少元?
20．我市为制定新的中考学生体能测试标准,从某校随机抽取了50名女学生进行一分钟仰卧起坐测试.测试结果如下表,并绘制出频数分布直方图.
（1）请你把给出的图、表补充完整；
（2）请你根据图、表提供的信息,利用统计的知识,试确定一个较为合理的及格标准,并说明你的理由.（按及格标准的合理程度给分）.
次数 6 12 15 18 20 25 27 30 32 36
人数 1 1 7 10 5 2 2 2 2
四、沉着冷静,周密考虑：（本大题共5小题,每小题8分,共40分）
21．根据多项式的乘法与因式分解的关系,可得 右边的两个一次两项式的系数有关系 ,左边上、下角两数积是原式左边二次项的系数,右边两数积是原式左边常数项,交叉相乘积之和是原式左边一次项的系数.这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”.请同学们认真观察,分析理解后,解答下列问题.
（1）填空：
①分解因数： .
②解方程： ,左边分解因式得（ ）（ ）=0,
, .
（2）解方程 .
22．下面给出两个判断：
（1）有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；
（2）在三角形6个边、角元素中,有5个元素分别相等的两个三角形全等.
上述判断是否正确?若正确,请给出证明过程；若不正确,请说明理由.
23．初三（1）班周末组织登笔架山活动.考虑到男、女同学体能的差异,分男、女两队.两队同时从山脚出发,沿同一条道路上、下山.已知男、女两队所用的时间比为2：3.（1）直接写出男、女两队行进的速度之比；
（2）当男队到达山顶时,女队处于山腰A处,且A处离山顶尚有600米,求山脚距山顶的路程；
（3）在第（2）问所述内容（除最后的问句处）的基础上,设女队从A处继续登山,男队到达山顶后休息片刻,从原路下山,并且在山腰B处与女队相遇.请你先根据以上情景,提出一个相应的问题,再给予解答（要求：①问题的提出不能再增加其他条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件）.
24．D是 的BC边上一动点（B、C点除外,）作 的外接圆,点E在劣弧 上.
（1）当AD为 的高,且AE经过圆心时（如图10）.求证： （2）当AD与BC不垂直,且AE不过圆心时,要使（1）中的结论成立,还需增加一个什么条件?请说明你的理由.
25．已知二次函数 .
（1）当此函数的图像与 轴有两个交点时,求 的取值范围；
（2）当 为正整数时,设此函数的图像与 轴相交于A、B两点,求线段AB的长；
（3）若 依次取1,2…,2010时,函数的图像与 轴相交所截得的2010条线段为A1B1,A2B2,…,A2010B2010,试求它们的长的和.
高州市2010年学科竞赛
数 学 答 案
一、精心选一选：（本大题共10小题,每小题3分,共30分.每小题给出四个答案,其中只有一个是正确的,请把正确的答案代号填入下表相应的空格内.）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 C C C B D B C C A A
二、耐心填一填（本大题共5小题,每小题3分,共15分.请把答案填在横线上方.）
11． 12． 13． 14． 15． 12
三、细心做一做：（本大题共5小题,每小题7分,共35分.）
16． ……………………1分
= …………………………………………2分
= …………………………3分
= ………………………………………………4分
当 时
原式= ………………………………5分
= …………………………………………6分
……………………………………7分
17．
（2分） （2分） （3分）
（注：其他正确的分割方法相应给分.）
18．作DE BC于E,DF AB于F,……………………1分
则
四边形DEBF为矩形,……………………………………2分
在
…………………………3分
又
………………………………4分
在 …………5分
…………………………6分
答：山高AB为500（ ）米……………………………………7分
19、设甲工种招 人,两工种每月要付工资总额为y元,则乙工种招（150- ）人,……1分
依题意得 ………………2分
得 …………………………3分
………………4分
即：甲工种招工不多于50人,乙工种不少于100人时,每月所付工资总额最少.……5分
又
………………………………6分
答：甲工种招人不多于50人,乙工种招人不少于100人时,工资总额最少.最少工资总额是140000元.………………………………7分
20、（1）（注：第（1）问4分,图、表各占2分）
次数 6 12 15 18 20 25 27 30 32 36
人数 1 1 7 18 10 5 2 2 2 2
（2）答：测试标准应是绝大多数学生经努力能达到.这一次求样本的中位数和众数都是18,且每分钟17次以上的同学占了82%,所以定16至18次为及格标准较合适.（16、17、18均算正确）…………………7分
（注：此问酌情给分）
四、沉着冷静,周密考虑：（本大题共5小题,每小题8分,共40分）
21、（1）①、（ ………………1分 …………………………2分
②、 ………………3分 ………………4分
（2）解方程两边都乘以 ,得 , 化简得 ……5分
设 ,则原方程为 ,解这个方程得 ………………6分
即
解这两个方程得 …………………………7分
经检验, 均为原方程的根……………………8分
（注：不同方法可相应给分.）
22、（1）正确.……………………1分
如图所示,在
分别为 、
上的中线,且 ,
求证： .……………………2分
证明： 、 分别为 、 的中点,把 分别绕 、 点按顺时针旋转180 可得到 与 ………………………………………………3分
……………………4分
同理可得 …………………5分
………………………………………………6分
（2）不正确.…………7分,如三边长分别为8,12,18和12,18,27的两个三角形显然相拟,且有5个元素相等,但它们不全等.……………………8分
23、（1）男、女两队行进的速度比为3：2；…………………………1分
（2）设山脚距山顶的路程为 米,依题意得 ………………2分
解得 （米）……………………………………………………3分
经检验, 是所列方程的根.
答：山脚距山顶1800米；………………………………………………4分
（3）可提出问题“B处距山顶小于多少米?”或“男队从B处下到山脚的路程要超过多少米?”…………………………………………………………5分
按前面的问题,设B处与山顶路程为 米 ,男队速度为3k米/时,女队速度为2k米/时,依题意得 ,……………………………………6分
解得： （米）……………………………………………………………7分
答：B处与山顶的路程小于360米.………………………………………8分
24、（1）证明：连结BE, AE为直径, ………………1分
AD是 的高, …………………………2分
∽ ……………………………………3分
……4分
（2）要使AB AC=AE AD成立,
须增加条件 ……5分
此时的图形有两种情况,
如图 、图 ,在图 中连结BE,
可得 ∽ ,推得
AB AC=AE AD…………………7分
图b中同理可得…………………8分
（增加条件为 也正确）
25、（1）依题意 的取值必须满足 ………………1分
解得 为不等于0和 的任意实数；………………………………2分
（2）设A、B两点坐标为 、 ,则 是方程 的两个不等实根………………………………………………3分
则AB的长为 …………………………①
………………………………4分
代入①式得 ……………………5分
…………………………………………6分
（3）当 依次取1,2, …,2010时,所截得的线段长分别为 ,
…, ,………………………………7分
…………8分