Question

设函数fn(x)＝1−x+x22−x33+…+(−1)nxnn，其中n为正整数，则集合M={xf1（f4（x））=0，x

Answer 1

解题思路：先分别表示f₁（x），f₄（x），进而可知 x=0是方程的根，利用导数法研究

1−

x

2

+

x

2

3

−

x

3

4

＝0

的根，从而得解．

由题意，f1(x)＝1−x，f4(x)＝1−x+

x2

2−

x3

3+

x4

4

∴f₁（f₄（x））=x−

x2

2+

x3

3−

x4

4=x(1−

x

2+

x2

3−

x3

4)=0

∴x=0是方程的根

又令y＝1−

x

2+

x2

3−

x3

4，∴y/＝−

1

2+

2x

3−

3x2

4＜0

∴该函数为单调函数，从而对应的方程有唯一的根

∴集合M={xf₁（f₄（x））=0，x∈R}中元素个数是2个

故选C．

点评：

本题考点： 数列与函数的综合．

考点点评： 本题以函数为载体，考查集合知识，考查方程的根，关键是表示出方程，进而可以解决．