Question

设函数f（x）=ex-1-x-ax2．

Answer 1

解题思路：（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．

（2）根据e^x≥1+x可得不等式f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，从而可知当1-2a≥0，即

a≤

1

2

时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．

（1）a=0时，f（x）=e^x-1-x，f′（x）=e^x-1．

当x∈（-∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．

故f（x）在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加

（II）f′（x）=e^x-1-2ax

由（I）知e^x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，

从而当1-2a≥0，即a≤

1

2时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，

于是当x≥0时，f（x）≥0．

由e^x＞1+x（x≠0）可得e^-x＞1-x（x≠0）．

从而当a＞

1

2时，f′（x）＜e^x-1+2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a），

故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．

综合得a的取值范围为(−∞，

1

2]．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．