Question

已知A（x1,y1）,B（x2,y2）是抛物线y²=2px（p＞0）上的两点,满足OA⊥OB,O为坐标原点,求

Answer 1

设直线AB与x轴交于T(m,0) (m≠0)

那么直线AB的方程可以设为

x=ty+m

x=ty+m与y²=2px联立消去x得

y²=2pty+2pm

即y²-2pty-2pm=0

根据韦达定理

y1+y2=2pty,y1y2=-2pm

∴x1x2=(y²1/2p)*(y²2/2p)²

=(y1y2)²/(4p²)=m²

∵OA⊥OB

∴向量OA●OB=（x1,y1)●(x2,y2)=0

∴x1x2+y1y2=0

∴m²-2pm=0

∵m≠0,∴m=2p

即直线AB所在直线过定点（2p,0）