Question

已知a，b是整数，a2+b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．

Answer 1

解题思路：此题利用一个数被3除有三种情况：被3整除，被3除余1，被3除余2；由此表示出a，b，再分情况代入即可解答．

证明：用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：

（1）a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3|a，3不整除b．令a=3m，b=3n±1（m，n都是整数），于是

a²+b²=9m²+9n²±6n+1

=3（3m²+3n²±2n）+1，

不是3的倍数，矛盾；

（2）a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则

a²+b²=（3m±1）²+（3n±1）²，

=9m²±6m+1+9n²±6n+1

=3（3m²+3n2±2m±2n）+2，

不能被3整除，矛盾；

同理分别设a=3m±2，b=3n±1或a=3m，b=3n±2，或a=3m±2，b=3n±2，代入a²+b²会得到相同的结论．

由此可知，a，b都是3的倍数．

点评：

本题考点： 数的整除性；反证法．

考点点评： 此题主要利用被一个数除，出现几种不同的余数，逐一计算，逐一讨论，找出问题的答案．