解题思路：（1）由题意推出∠AQC=∠PCQ，即可得PC=PQ，由
AC
＝
AE
，
AF
＝
CD
，推出∠CAD=∠ACE，即可得PA=PC，即可推出P是AQ的中点；
（2）根据已知首先推出BE的长度，然后即可得BC的长度，在Rt△ACB中，由tan∠ABC=[AC/BC＝
3
4]，求出AC的长度，求证Rt△ACB∽Rt△QCA后，即可得CQ的长度．
（1）证明：∵C是
AD的中点，
∴
AC=
CD，
∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠CAD+∠AQC=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠ABC+∠PCQ=90°，
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中，PC=PQ，
∵CE⊥AB，
∴
AC=
AF
∴
AF＝
CD
∴∠CAD=∠ACE．
∴在△APC中，PA=PC，
∴PA=PC=PQ
∴P是AQ的中点．
（2）∵CE⊥AB于E，
∴在Rt△BCE中，由tan∠ABC=[CE/BE＝
3
4]，
∵CF=8，
∴CE=4，
得：BE=[4/3CE=
16
3]，
∴由勾股定理，得BC=
CE2+BE2＝
20
3，
∵AB是⊙O的直径，
∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=[AC/BC＝
3
4]，BC=[20/3]，
得AC=[3/4]BC=5．
∵AB为直径，∠CBA=∠CAQ，
∴Rt△ACB∽Rt△QCA，
∴AC2=CQ•BC
∴CQ=
AC2
BC＝
15
4．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．
考点点评： 本题主要考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理、解直角三角形，关键在于（1）∠CAD=∠ABC，∠CAD=∠ACE，（2）根据正切值求出BE、BC的长度，然后Rt△ACB∽Rt△QCA，求出CQ的长度．
1年前
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