求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内.

3个回答

  • 解题思路:解决此题,先要画出图形,前三条线只能画成“两两相交,且不交于同一点”,这样才能保证第四条线与前三条全相交,这样的话图形一共可以分为两类.然后,我们可以根据推论1或者推论2,先把平面确定好,然后再根据公理1,进一步证明其余的直线也在这个平面里.

    证明:第一种情形(如图1):四条直线l1,l2,l3,l4没有三条直线过同一点,

    这时它们共有六个交点A、B、C、D、E、F,它们各不相同,

    因直线l1,l2相交于点A,可决定一平面α;

    因点B、C、D、E均在平面α内,

    所以直线l3,l4也在平面α内,

    故直线l1,l2,l3,l4同在平面α内.

    第二种情形(如图2):四条直线l1,l2,l3,l4中有三条,

    例如l1,l2,l3,过同一点A,

    因直线l4不过点A,

    故由点A及直线l4可决定一平面α,

    因直线l4与直线l1,l2,l3,相交,

    设交点为B、C、D,

    则点B、C、D在直线l4上,从而在平面α内,

    因此,直线l1,l2,l3,各有两点在平面α内,

    即这三条直线在平面α内,

    故四直线l1,l2,l3,l4在同一平内.

    点评:

    本题考点: 平面的基本性质及推论.

    考点点评: 此题难度系数不大,关键在于画对图形.重点考查了推论1、2与公理1,这些都是很简单的道理,但是能够运用起来,却不是那么容易,做题时不要烦躁,理清线条,定理运用其实很简单!