Question

如图所示，已知菱形ABCD的边长为2，AC∩BD=O．∠DAB=60°，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥D-A

Answer 1

解题思路：（1）由ABCD是菱形，知DO⊥AC，BO⊥AC，由此能够证明面ABC⊥面BOD．（2）由VD-ABC=13AC•S△BOD=13×23•S△BOD=13×23×12×1×1•sin∠BOD=12，能够推导出∠BOD=π3或2π3，由此及彼能求出BD的长．

（1）∵ABCD是菱形，∴DO⊥AC，（2分）

BO⊥AC，（4分）

BO∩DO=0，BO、DO⊂面BOD，AC⊂面BOD，

∴AC⊥面BOD，（5分）

∵AC⊂面ABC，∴面ABC⊥面BOD．（6分）

（2）V_D-ABC=[1/3]AC•S_△BOD=

1

3×2

3•S_△BOD
=

1

3×2

3×

1

2×1×1•sin∠BOD=[1/2]，

sin∠BOD=

3

2⇒∠BOD=[π/3]或[2π/3]（8分）

①若∠BOD=[π/3]，BD²=BO²+DO²-2•BO•DO•cos[π/3]=1+1-1=1，所以BD=1（10分）

②若∠BOD=[2π/3]，BD²=BO²+DO²-2•BO•DO•cos[2π/3]=1+1+1=3，所以BD=

3

综上，BD=1或

3．（12分）

点评：

本题考点： 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．