Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ
=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ
=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)
=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ
因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ
所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2
而∑ξ^2*Pξ,表示E(ξ^2)
所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2
下面计算几何分布的学期望,
Eξ=∑{ξ=1,∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p
Eξ=p＋∑{ξ=2,∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p ①
当然
(1-p)*Eξ=∑{ξ=1,∞}ξ*(1-p)^ξ*p
(1-p)*Eξ=∑{ξ=2,∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ②
①－②得
p*Eξ=p＋∑{ξ=2,∞}(1-p)^(ξ-1)*p
所以
Eξ=1＋∑{ξ=2,∞}(1-p)^(ξ-1)
=∑{ξ=1,∞}(1-p)^(ξ-1)
=lim{x→∞}[1－(1-p)^x]/p
=1/p
若要计算方差,可以根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2计算,
其中E(ξ^2)的计算过程如下：
E(ξ^2)=∑{ξ=1,∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p
E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1,∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p －∑{ξ=1,∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p
E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1,∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p
E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=1,∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ①
(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=1,∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^ξ*p
(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=2,∞}(ξ-1)*(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1)*p ②
由①得
E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2,∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ③
③－②得
p*E(ξ^2)=1＋∑{ξ=2,∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p
E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2,∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1) ④
(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=2,∞}(ξ-1)*(1-p)^ξ
(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=3,∞}(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1) ⑤
由④得
E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3,∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1) ⑥
⑥－⑤得.
p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3,∞}(1-p)^(ξ-1).
p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*lim{x→∞}(1-p)^2*[1-(1-p)^x]/p.
p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*(1-p)^2/p.
E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)/p＋2*(1-p)^2/p/p
=1/p＋2*(1-p)/p/p
=(2-p)/p/p
若求方差,根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2得,.
Dξ =(2-p)/p/p－1/p/p
=(1-p)/p^2