解题思路:由于极限中的积分变量是t,而自变量的变化趋势是t趋于0,因此,需要先对分子的积分换元,再使用洛必达法则.
∵
∫h−hf(t+h)dt
令u=t+h
.
∫2h0f(u)du
∫h−hf(t−h)dt
令v=t−h
.
−∫−2h0f(v)dv
∴
lim
h→0
1
h2
∫h−h[f(t+h)-f(t-h)]dt
=
lim
h→0
∫2h0f(u)du+
∫−2h0f(v)dv
h2
=
lim
h→0
2f(2h)−2f(−2h)
2h
又f(x)连续,
lim
x→0
f(x)
x=-2,
∴f(0)=0,f'(0)=-2
∴
lim
h→0
2f(2h)−2f(−2h)
2h=2
lim
h→0
f(2h)−f(0)
2h+2
lim
h→0
f(−2h)−f(0)
−2h=4f'(0)=-8
∴原式=-8
点评:
本题考点: 积分上限函数及其求导.
考点点评: 此题考查导数的定义和变上限积分函数的导数,在使用洛必达法则之前,先将积分化简.