f(x)连续,limx→0f(x)x=-2,求limh→01h2∫h−h[f(t+h)-f(t-h)]dt.

1个回答

  • 解题思路:由于极限中的积分变量是t,而自变量的变化趋势是t趋于0,因此,需要先对分子的积分换元,再使用洛必达法则.

    ∫h−hf(t+h)dt

    令u=t+h

    .

    ∫2h0f(u)du

    ∫h−hf(t−h)dt

    令v=t−h

    .

    −∫−2h0f(v)dv

    lim

    h→0

    1

    h2

    ∫h−h[f(t+h)-f(t-h)]dt

    =

    lim

    h→0

    ∫2h0f(u)du+

    ∫−2h0f(v)dv

    h2

    =

    lim

    h→0

    2f(2h)−2f(−2h)

    2h

    又f(x)连续,

    lim

    x→0

    f(x)

    x=-2,

    ∴f(0)=0,f'(0)=-2

    lim

    h→0

    2f(2h)−2f(−2h)

    2h=2

    lim

    h→0

    f(2h)−f(0)

    2h+2

    lim

    h→0

    f(−2h)−f(0)

    −2h=4f'(0)=-8

    ∴原式=-8

    点评:

    本题考点: 积分上限函数及其求导.

    考点点评: 此题考查导数的定义和变上限积分函数的导数,在使用洛必达法则之前,先将积分化简.