Question

数论:给定x和y,且m=ax+by,n=cx+dy,ad-bc=±1,求证(m,n)=(x,y)

Answer 1

(x,y)|x,(x,y)|y,而m=ax+by,n=cx+dy,于是 (x,y)|m,(x,y)|n ==> (x,y)|(m,n)

另一方面：

dm=adx+bdy

bn=cbx+bd y

相减 得：

dm-bn =±x

cm=acx+bcy

an=acx+ad y

相减 得：

-cm+an =±y

于是,类似最上面的推理,可得：(m,n) | (x,y)

都是正数,于是 (m,n) = (x,y)