(2009•深圳二模)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,f(-1)=1,则f(1)+f(2)+f(

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  • 解题思路:先根据奇函数的性质得到f(0)=0,再由对称性得到f(2)=f(0)=0,再由奇函数和关于直线x=1对称得到f(4)=f(-2)=0,同样得到当x为偶数时,f(x)=0;根据f(-1)=1和f(x)为奇函数得到f(1)=-f(-1)=-1,再由函数f(x)关于直线x=1对称得到f(3)=f(-1)=1,进而可得到当x为奇数时,f(x)=1或者-1交替出现,进而可得到f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)的值.

    根据奇函数性质,f(0)=0

    ∵f(x)关于直线x=1对称,∴f(2)=f(0)=0

    再由奇函数性质,f(-2)=-f(2)=0

    再由关于直线x=1对称性质,f(4)=f(-2)=0

    ∴f(-4)=-f(4)=0

    ∴f(6)=f(-4)=0

    ∴当x为偶数时,f(x)=0

    由题意,f(-1)=1

    根据奇函数性质,f(1)=-f(-1)=-1

    根据关于直线x=1对称性质,f(3)=f(-1)=1

    不难得出,当x为奇数时,f(x)=1或者-1,交替出现

    最后出现的一个是f(2009),很明显f(2009)=-1,前面的2008个全部抵消掉了

    故而最终结果就是-1

    故选A.

    点评:

    本题考点: 奇函数;函数的值.

    考点点评: 本题主要考查函数的基本性质--奇偶性、对称性.函数是高中数学的核心内容,每一个地方都离不开函数,对于其基础性质一定要熟练掌握.