Question

，已知y=f（x）是定义在R上的单调递减函数，对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）且f（0）=1，数列{

Answer 1

（1）由题设知 f(lo g 3 -

a n+1

4 )f(-1-lo g 3

a n

4 )=1 （n∈N ^*），可化为 f(lo g 3

a n+1

4 -1-lo g 3

a n

4 )=f(0) ．

所以有 lo g 3 +

a n+1

4 -1-lo g 3

a n

4 =0 ，

即 lo g 3

a n+1

4 -lo g 3

a n

4 =1 ．

因此数列{ lo g 3

a 1

4 }是以 lo g 3

a 1

4 =0 为首项，1为公差的等差数列．

所以 lo g 3

a n

4 =n-1 ，即a _n=4×3 ^n-1（n∈N ^*）．

（2）S _n=a ₁+a ₂+a ₃++a _n=4（1+3 ¹+3 ²++3 ^n-1）=2（3 ⁿ-1），

当n=1时，有S _n=6n ²-2=4；

当n=2时，有S _n=16＜6n ²-2=22；

当n=3时，有S _n=6n ²-2=52；

当n=4时，有S _n=160＞6n ²-2=94；

当n=5时，有S _n=484＞6n ²-2=148；

…

由此猜想当n≥4时，有S _n＞6n ²-2，

即3 ^n-1＞n ²．

下面由数学归纳法证明：

①当n=4时，显然成立；

②假设n=k（k≥4，k∈N ^*）时，有3 ^k-1＞k ²．

当n=k+1时，3 ^k=3×3 ^k-1＞3k ²，

因为k≥4，所以k（k-1）≥12．

所以3k ²-（k+1） ²=2k（k-1）-1＞0，

即3k ²＞（k+1） ²．

故3 ^k＞3k ²＞（k+1） ²，

因此当n=k+1时原式成立．

由①②可知，当n≥4时，有3 ^n-1＞n ²，

即S _n＞6n ²-2．

故当n=1，3时，有S _n=6n ²-2；

当n=2时，有S _n＜6n ²-2；

当n≥4时，有S _n＞6n ²-2．