设数列{an}的前n项和为Sn满足2Sn=an+1 - 知识问答

设数列{an}的前n项和为Sn满足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差数列．

2个回答

解题思路：（1）在题目给出的数列递推式中，分别取n=1，2，得到a₂和a₁，a₃和a₁的关系，结合a₁，a₂+5，a₃成等差数列即可列式求得a₁的值；
（2）在数列递推式中，取n=n+1得到另一递推式，作差后得到
a
n+2
＝3
a
n+1
+
2
n+1
，验证可知n=1时该等式成立，由此得到
a
n+1
+
2
n+1
＝3(
a
n
+
2
n
)
．说明数列{
a
n
+
2
n
}为等比数列，由等比数列的通项公式求得
a
n
+
2
n
，则数列{a_n}的通项公式可求．
（1）在2S_n=a_n+1-2^n+l+1中，
令n=1得：2S₁=a2-22+1，即a₂=2a₁+3 ①
令n=2得：2S2=a3-23+1，即a₃=6a₁+13 ②
又2（a₂+5）=a₁+a₃③
联立①②③得：a₁=1；
（2）由2S_n=a_n+1-2^n+l+1，得：
2Sn+1=an+2-2n+2+1，
两式作差得an+2=3an+1+2n+1，
又a₁=1，a₂=5满足a2=3a1+21，
∴an+1=3an+2n对n∈N^*成立．
∴an+1+2n+1=3(an+2n)．
∴an+2n=3n．
则an=3n-2n．
点评：
本题考点：数列递推式．
考点点评：本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了学生的计算能力，是中档题．

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