Question

△ABC的三边a、b、c和面积S满足关系式：S=c2-（a-b）2且a+b=2，求面积S的最大值．

Answer 1

解题思路：利用余弦定理及三角形的面积公式化简S=c²-（a-b）²后，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后根据a+b=2，利用基本不等式即可求出面积S的最大值．

由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC及面积公式S=[1/2]absinC代入条件得

S=c²-（a-b）²=a²+b²-2abcosC-（a-b）²，即[1/2]absinC=2ab（1-cosC），

∴[1−cosC/sinC]=[1/4]，令1-cosC=k，sinC=4k（k＞0）

由（1-k）²+（4k）²=cos²C+sin²C=1，得k=[2/17]，

∴sinC=4k=[8/17]

∵a＞0，b＞0，且a+b=2，

∴S=[1/2]absinC=[4/17]ab≤[4/17]•

(a+b)2

2=[8/17]，当且仅当a=b=1时，S_max=[8/17]．

点评：

本题考点： 余弦定理．

考点点评： 此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，会利用基本不等式求函数的最值，是一道中档题．