解题思路：（1）由题意知f（x）与g（x）有公共点，确定在公共点处的切线方程为y=x-1，再证y=x-1就是左同旁切线方程，即证1-
1/x]≤lnx≤x-1（x＞0）；
（2）利用反证法进行证明，令x3≤x1，则
x
3
＝
x
2
−
x
1
ln
x
2
x
1
≤
x
1
，从而可得
x
2
−
x
1
≤
x
1
ln
x
2
x
1
＜
x
1
(
x
2
x
1
−1)＝
x
2
−
x
1
，由此得证．
（1）由题意知f（x）与g（x）有公共点，令其为（x0，y0），则f（x0）=f（x0），f'（x0）=g'（x0），即
1
x0＝
1
x20
lnx0＝1−
1
x20，解得x0=1，y0=1．
所以在公共点处的切线方程为y=x-1．
下证y=x-1就是左同旁切线方程，即证1-[1/x]≤lnx≤x-1（x＞0）．
先构造函数h（x）=lnx-x+1（x＞0），则h'（x）=[1/x]-1=[1−x/x]，
令h'（x）＞0可得0＜x＜1，h'（x）＜0可得x＜0或x＞1，
∴函数在x=1处h（x）取得最大值h（1）=0，所以lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1（x＞0）．（4分）
再构造函数φ（x）=lnx-1+[1/x]（x＞0），则φ′（x）=[x−1
x2，
令φ'（x）＞0可得x＞1，φ'（x）＜0可得x＜1，
∴在x=1处φ（x）取得最小值φ（1）=0，所以lnx-1+
1/x]≥0，即lnx≥1-[1/x]（x＞0）．
故对任意x∈（0，+∞），恒有1-[1/x]≤lnx≤x-1（x＞0）成立，即y=x-1就是左同旁切线方程．（6分）
（2）因为f′（x）=[1/x]，所以f′（x3）=[1
x3=
lnx2−lnx1
x2−x1=
ln
x2
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查新定义，考查函数的最值，正确理解新定义是关键．
1年前
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