Question

求积分∫上限1下限-1ln(x+根号下1+x^2)dx

Answer 1

用分步积分法

∫[-1,1] ln[x+√(1+x^2)]dx

=xln[x+√(1+x^2)][-1,1]-∫[-1,1] xdln[x+√(1+x^2)]

=ln(√2+1)-ln(√2-1)-∫[-1,1] x/[x+√(1+x^2)]*[1+x/√(1+x^2)]dx

=ln[(√2+1)/(√2-1)]-∫[-1,1] x/√(1+x^2)dx (注意后一个积分,被积函数是奇函数,积分限关于原点对称,所以积分值是0

=2ln(√2+1)