Question

证明 若AA^t=I（单位矩阵）,则(A*)^t=(A *)^(-1)

Answer 1

因为 AA^T = I (单位矩阵)

所以A可逆,且 A^-1 = A^T

由 AA*=|A|E

A* = |A|A^-1 = |A|A^T

所以 (A*)^T = |A|A.

且有 (A*)^-1 = (|A|A^-1)^-1 = (1/|A|)(A^-1)^-1 = (1/|A|)A

再由已知 AA^T=I

两边取行列式得 |A|^2=1

所以 |A| = 1/|A|.

所以 (A*)^T = (A*)^-1.