Question

设m,n为实数,且满足m^3＋n^3＋3mn＝1,求m+n的值

Answer 1

-2或1

设m+n=t

则：t^3=(m+n)^3

=m^3+n^3+3mn(m+n)

=m^3+n^3+3mn+3mn(m+n-1)

=1+3mn(m+n-1) =1+3mn(t-1)

所以：t^3-1=3mn(t-1)

所以：(t-1)(t^2+t+1)=3mn(t-1)

所以：t=1或者3mn=t^2+t+1

对于t=1,m^3+n^3+3mn=1恒成立,

对于3mn=t^2+t+1,m、n分别为x^2-t*x+(t^2+t+1)/3=0的二根,

判别式为t^2-4*(t^2+t+1)/3=-(t+2)^2/3,当t=-2时有解,此时mn=(t^2+t+1)/3=1,m+n=t=-2,得到m=n=-1

所以,m+n=1或者m+n=-2