解题思路：（1）先求函数的定义域，然后利用奇函数的性质，可知f（0）=0可求a，即可
（2）先设x1＜x2，然后判断f（x1）-f（x2）的正负，从而可判断f（x1）与f（x2）的大小，即可证明
（3）由已知可得f（3m2-m+1）＜-f（2m-3），结合f（x）为奇函数及f（x）在R上是增函数可得3m2-m+1＜3-2m，解不等式即可求解
（1）∵3x＞0
3x+1≠0函数f（x）的定义域为 R即（-∞，+∞）…（1分）
假设存在实数a使函数f（x）为奇函数，
由f（0）=0得
2a−2
3x+1＝0解得a=1…（2分），
∴f(x)＝
3x−1
3x+1f(−x)＝
3−x−1
3−x+1=
1
3x−1
1
3x+1＝
1−3x
3x+1=−
3x−1
3x+1＝−f(x)
∴当a=1时，函数f（x）为奇函数…（4分）
（2）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2
∵f(x)＝a−
2
3x+1
f（x1）-f（x2）=a−
2
3x1+1−(a−
2
3x2+1)
=
2
3x2+1−
2
3x1+1
=
2(3x1+1)−2(3x2+1)
(3x1+1)(3x2+1)
=
2(3x1−3x2)
(3x1+1)(3x2+1)…（7分）
∵x1＜x2，
∴
点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合．
考点点评： 本题主要考查了函数的奇偶性、函数的单调性的定义在证明函数的单调性的应用，抽象函数的单调性在求解不等式中的应用，属于函数知识的综合应用．