如图②,在三角形ABC和三角形DEF中,AC=DF,BC=EF,角B=角E,且角B角E都是锐角,请你用尺规作图在图③中作

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  • (本题满分12分)数学活动——“关于三角形全等的条件”

    1.【问题提出】

    学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.

    2.【初步思考】

    我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,对∠B进行分类,可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

    3.【逐步探究】

    (1)第一种情况:当∠B是直角时,如图①,根据______定理,可得△ABC≌△DEF.

    (2)第二种情况:当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF仍成立.请你完成证明.

    已知:如图②,△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是钝角,求证:△ABC≌△DEF.

    证明:

    (3)第三种情况:当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等.

    在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,请你用尺规在图③中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不写作法,保留作图痕迹)

    4.【深入思考】

    ∠B还要满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF?(请直接写出结论.)

    在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,若∠B _________,则△ABC≌△DEF.

    【答案】

    试题分析:(1)对于直角三角形,要判定全等,除了SAS,ASA,AAS,SSS,外还有HL可判定其全等;(2)如图,过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G,过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H,要想证明△ABC和△DEF全等,只需证明∠A=∠D,即可,所以证明Rt△ACG和Rt△DFH全等即可,而根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH,再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等,根据全等三角形对应边相等可得CG=FH,从而Rt△ACG和Rt△DFH全等;(3)以点C为圆心,以AC长为半径画弧,与AB相交于点D,E与B重合,F与C重合,得到△DEF与△ABC不全等;(4)根据前面的三种情况的结论,可得∠B不小于∠A.

    试题解析:3.【逐步探究】

    (1)HL 2分

    (2)证明:分别作CG⊥AB,FH⊥DE

    由∠ABC=∠DEF

    得∠CBG=∠FEH4分

    又BC=EF,所以可证明△ACG≌△DFH(AAS)

    所以CG="FH" ,因为AC=DF,

    所以Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)

    所以∠A=∠D,所以△ABC≌△DEF(AAS)

    (3)如图,

    4.【深入思考】∠B≥∠A.

    考点:1.全等三角形的判定与性质;2.直角三角形的判定与性质;3.尺规作图.