解题思路：可以设这个自然数为x，根据题意得：x+160=m2①，x+84=n2②，①-②得m2-n2=（m-n）×（m+n）=76，然后根据m-n和m+n的奇偶性来分析判断出m和n的值，进一步求出这个自然数．
设这个自然数为x，它与160的和是m的平方．与84的和是n的平方，所以有：
x+160=m2，x+84=n2，
m2-n2=（m-n）×（m+n）=76，
因为m-n和m+n奇偶性相同，76是偶数，所以m-n和m+n都是偶数，且76分解为两个偶数的乘积只有76=2×38，所以：
（m-n）（m+n）=2×38=（20-18）×（20+18）
m=20，n=18．
所以x+160=202，x=240．
故答案为：240．
点评：
本题考点： 完全平方数性质．
考点点评： 此题解答有一定难度，通过设未知数，以及对数的奇偶性性质的分析，得出问题的答案．