Question

如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于点B，大圆的弦BC⊥AB于点B，

Answer 1

（1）证明：如图，∵AB与小圆相切于点A，CD与大圆相交于点C，

∴∠OAB=∠OCD=90°，

∵BC⊥AB，

∴∠CBA=∠CBD=90°，

∵∠1+∠OBC=90°，∠2+∠OCB=90°，

又∵OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠1=∠2，

∴△AOB∽△BDC；

（2）①过点O作OF⊥BC于点F，则四边形OABF是矩形，

∴BF=OA=1，

由垂径定理，得BC=2BF=2，

在Rt△AOB中，OA=1，OB=x，

∴AB=

，

由（1）得△AOB∽△BDC，

∴

即

，

∴y=

（或y=

）；

②当BE与小圆相切时，OE⊥BE，

∵OE=1，OC=x，

∴EC=x-1，BE=AB=

，

在Rt△BCE中，EC ²+BE ²=BC ²，

即（x-1） ²+（

） ²=2 ²，

解得：x ₁=2x ₂=-1（舍去），

∴当BE与小圆相切时，x=2。