Question

证明不等式当x>0时,1+xln(x+(1+x)^(1/2))>(1+x)^(1/2)二楼的方法很新颖。三楼为什么x→0

Answer 1

令y=(1+x)^(1/2);

so: x=y^2-1;(y>1)

f(y)=1+y^2*ln(y^2+y)-y;

f'(y)=2y*ln(y^2+y)+y^2*(1/y^2+y)*(2y+1)-1

=2y*ln(y^2+y)+(2y^2+y)/(y+1)-1

>2ln2-1>ln4-lne>0;(y>1)

so: f'(y)>0 => f(y)>f(1)=1+1*ln2-1=ln2>0;

so: f(y)>0;