Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，常数λ＞0，且λa 1 a n =S 1 +S n 对一切正整数n都成立。

Answer 1

解（1）当n=1时，

∴a ₁（λa ₁-2）=0

若取a ₁=0，则S _n=0，a _n=S _n-S _n-1=0

∴a _n=0（n≥1）

若a ₁≠0，则

，

当n≥2时，2a _n=

，

两式相减可得，2a _n-2a _n-1=a _n
∴a _n=2a _n-1，

从而可得数列{a _n}是等比数列

∴a _n=a ₁·2 ^n-1=

=

综上可得，当a ₁=0时，a _n=0，

当a ₁≠0时，

。

（2）当a ₁＞0且λ=100时，

令

由（1）可知

∴{b _n}是单调递减的等差数列，公差为-lg2

∴b ₁＞b ₂＞…＞b ₆=

＞0

当n≥7时，

∴数列

的前6项和最大。