Question

如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC交AD于E，交BC于F，连接AF、EC．

Answer 1

解题思路：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．根据图形很容易证出△AOE≌△COF，进而证得四边形AFCE是平行四边形，又证AE=CE，因而▱AFCE是菱形．

（2）先设CF=x，那么BF=8-x，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出CF=5，所以S_菱形AFCE=CF×AB=20．

（1）菱形．

证明：∵EF垂直平分AC，

∴OA=OC，AE=CE．

而∠AOE=∠COF，

又∵ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AEO=∠CFO，

∴△AOE≌△COF，

∴AE=CF

又AE∥CF

∴四边形AFCE是平行四边形，

∴▱AFCE是菱形．

（2）先设CF=x，那么BF=8-x，

由（1）知AF=CF，

故CF=x，

在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，即（8-x）²+4²=x²，解得，x=5，

所以S_菱形AFCE=CF×AB=20．

点评：

本题考点： 菱形的判定；矩形的性质．

考点点评： 本题利用了菱形的判定（一组邻边相等的平行四边形是菱形），还有全等三角形的判定和性质及勾股定理、菱形面积公式的计算等问题．