Question

设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B．

Answer 1

解题思路：（1）根据初等变换与初等矩阵的关系，初等矩阵与矩阵乘法的关系，可以写出B=AE_ij，从而由A可逆，推得B可逆；

（2）由（1）将AB^-1求出来即可．

证明：

（1）

令：E_ij表示单位阵中的第i行和第j行对换，

则由题意B=E_ijA，而E_ij是初等矩阵，是可逆的，

又A是可逆的，

根据逆矩阵的乘积依然是可逆的，得：

B=AE_ij可逆．

（2）

∵B=E_ijA，

∴B^-1=（E_ijA）^-1=A^-1•E_ij^-1=A^-1E_ij，（E_ij的逆矩阵依然为本身）

从而：AB^-1=A•A^-1E_ij=E_ij．

点评：

本题考点： 矩阵可逆的充分必要条件．

考点点评： 熟悉初等矩阵和初等变换的关系，初等矩阵与矩阵乘法的关系，以及逆矩阵的运算性质，此题很简单．