圆周长与半径微小变化的乘积是,恰好是微圆环的面积,即2πrdr是微小面积,在整个半径上积分就是面积.
对于正方形,应该是两个方向上的变化才行,也就是双重定积分.
如果用周长积分,你会发现,这里面有相重合的地方,所以实际上,最终的积分是正方形面积的2倍.你可以想象,一个边长把一部分面积计算了,而你在计算与他相邻的边长时,在线段末端会有重复计算的面积,四个角都有这样的现象,如果用双重积分就不会存在重复计算面积的现象.在圆上,由于只有一个方向的变化,不可能存在重复计入的问题.
最终,对于圆和正方形的面积的积分计算,所使用的坐标系是不同.