Question

设事件A发生的概率为P，若在A发生的条件下B发生的概率为P′，则由A产生B的概率为PP′，根据这一规律解答下题：一种掷硬

Answer 1

（1）根据题意，棋子跳到第n站的概率为P _n，

则P ₁即棋子跳到第一站，有一种情况，即掷出正面，故P ₁=

1

2 ，

P ₂即棋子跳到第2站，有2种情况，即两次掷出正面或一次掷出反面，则 P 2 =

1

2 P 0 +

1

2 P 1 =

3

4 ，

P ₃即棋子跳到第3站，有2种情况，即在第1站掷出反面，或在第2站掷出正面，则 P 3 =

1

2 P 1 +

1

2 P 2 =

5

8

故P _n+1即棋子跳到第n站，有2种情况，即在第n-1站掷出反面，或在第n站掷出正面，则 P n+1 =

1

2 P n +

1

2 P n -1

（2）由（1）知： P n+1 =

1

2 P n +

1

2 P n-1 ，

∴ P n+1 - P n =-

1

2 ( P n - P n-1 ) ，

∴{P _n-P _n-1}表示等比数列，其公比为 -

1

2

又 a 1 = P 1 - P 0 =-

1

2 ，

∴ a n =(-

1

2 ) n ，1≤n≤100 ；

（3）玩该游戏获胜，即求P ₉₉

由（2）知，P _n-P _n-1= (-

1

2 ) n （2≤n≤100），

∴P ₂-P ₁=

1

4 ，

P ₃-P ₂= -

1

8 ，…

P _n-P _n-1= (-

1

2 ) n （2≤n≤100），

∴P _n-P ₁=

1

4 -

1

8 +…+ (-

1

2 ) n

∴P _n-P ₁=

1

4 [1- (-

1

2 ) n-1 ]

1-(-

1

2 )

∴ P n =

2

3 [1-

1

4 × (-

1

2 ) n-1 ]

∴n=99时， P 99 =

2

3 [1- (

1

2 ) 100 ] ．