（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
将A（-2,2）,B（6,6）,O（0,0）三点坐标代入,得
4a-2b+c=2
36a+6b+c=6
c=0x09 ,
解得
a=
1
4
b=-
1
2
c=0x09 ,
∴y=
1
4 x2-
1
2 x,
（2）依题意,得直线OB的解析式为y=x,设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m,
联立
y=
1
4 x2 -
1
2 x
y=x+mx09 ,得x2-6x-4m=0,
当△=36+16m=0时,过N点与OB平行的直线与抛物线有唯一的公共点,则点N到OB的距离最大,所以△BON面积最大,
解得m=-
9
4 ,x=3,y=
3
4 ,即N（3,
3
4 ）；
此时△BON面积=
1
2 ×6×6-
1
2 （
3
4 +6）×3-
1
2 ×
3
4 ×3=
27
4 ；
（3）过点A作AS⊥GQ于S,
∵A（-2,2）,B（6,6）,N（3,
3
4 ）,
∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°,
OG=3,NG=
3
4 ,NS=
5
4 ,AS=5,
在Rt△SAN和Rt△NOG中,
∴tan∠SAN=tan∠NOG=
1
4 ,
∴∠SAN=∠NOG,
∴∠OAS-∠SAN=∠BOG-∠NOG,
∴∠OAN=∠BON,
∴ON的延长线上存在一点P,使得△BOP∽△OAN,
∵A（-2,2）,N（3,
3
4 ）,
∵△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）,即△BOP∽△OAN,
∴BO：OA=OP：AN=BP：ON
又∵A（-2,2）,N（3,
3
4 ）,B（6,6）,
∴BO=6
2 ,OA=2
2 ,AN=
5
17
4 ,ON=
3
17
4 ,
∴OP=
15
17
4 ,BP=
9
17
4 ,
设P点坐标为（4x,x）,
∴16x2+x2=（
15
17
4 ）2,
解得x=
15
4 ,4x=15,
∵P、P′关于直线y=x轴对称,
∴P点坐标为（15,
15
4 ）或（
15
4 ,15）．
望采纳.