Question

在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB=90°，D为BC中点．（Ⅰ）求证：BC⊥AA1

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为∠ACB=90°，

所以 AC⊥BC，

又侧面ACC₁A₁⊥平面ABC，

且平面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，

BC?平面ABC，

所以 BC⊥平面ACC₁A₁，

又AA₁?平面ACC₁A₁，

所以 BC⊥AA₁．

（Ⅱ）证明：设A₁B与AB₁的交点为O，连接OD，

在△A₁BC中，O，D分别为A₁B，BC的中点，

所以 OD∥A₁C，

又 OD?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，

所以 A₁C∥平面AB₁D．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面ACC₁A₁，

所以三棱锥A₁-ABC的体积为[1/3]S△_ACA1?BC．

又 AC=AA₁=2，∠A₁AC=60°，

所以 S△_ACA1=[1/2]×2×2×sin60°=

3，

所以 [1/3]S△_ACA1?|BC|=[1/3]×

3×2=

2

3

3．

三棱锥A₁-ABC的体积等于

2

3

3．