解题思路：（1）先求得B点的坐标，然后根据待定系数法交点抛物线的解析式；
（2）根据平移性质及抛物线的对称性，求出A′、C′的坐标；
（3）以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，可能存在3种满足条件的情形，需要分类讨论，避免漏解．
（1）∵A（-2，0），对称轴为直线x=1．
∴B（4，0），
把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线的表达式为：
4a−2b+4＝0
16a+4b+4＝0，
解得：
a＝−
1
2
b＝1，
∴抛物线的解析式为：y=-[1/2]x2+x+4；
（2）由抛物线y=-[1/2]x2+x+4可知C（0，4），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，根据对称性，
∴C′（2，4），
∴A′（0，0）．
（3）存在．
设F（x，-[1/2]x2+x+4）．
以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
①若AC为平行四边形的边，如答图1-1所示，则EF∥AC且EF=AC．
过点F1作F1D⊥x轴于点D，则易证Rt△AOC≌Rt△E1DF1，
∴DE1=2，DF1=4．
∴-[1/2]x2+x+4=-4，
解得：x1=1+
17，x2=1-
17．
∴F1（1+
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，根据抛物线的性质求得对称点的问题，平行四边形的性质等．解题关键是根据题意画出图形，根据图形解答问题．