Question

（2004•朝阳区一模）已知f（x）=log12x+3的反函数为f-1（x），则使f-1（x）＜x-2成立的x的取值范围

Answer 1

解题思路：由

y＝lo

g

1

2

x+3

，（x＞0），解得

x＝(

1

2

)

y−3

，再将x与y互换得到y=2^3-x，即可得到f（x）=

lo

g

1

2

x+3

的反函数为f^-1（x）=2^3-x（x∈R）．令g（x）=2^3-x-x+2，由指数函数及复合函数的单调性判断方法、一次函数的单调性可得g（x）=2^3-x-x+2在R上单调递减，又g（3）=0，即可得到不等式的取值范围．

由y＝log

1

2x+3，（x＞0），解得x＝(

1

2)y−3，将x与y互换得到y=2^3-x，

∴f（x）=log

1

2x+3的反函数为f^-1（x）=2^3-x（x∈R）．

由f^-1（x）＜x-2，即2^3-x＜x-2．

令g（x）=2^3-x-x+2，

由指数函数及复合函数的单调性判断方法可知：y=2^3-x在R上单调递减，

由一次函数的单调性可知：y=-x+2在R上单调递减，

∴g（x）=2^3-x-x+2在R上单调递减，

而g（3）=2⁰-3+2=0，

∴当x＞3时，g（x）＜g（3）=0，即2^3-x＜x-2．

因此使f^-1（x）＜x-2成立的x的取值范围是（3，+∞）．

故答案为（3，+∞）．

点评：

本题考点： 反函数．

考点点评： 熟练掌握反函数的求法、指数函数及复合函数的单调性判断方法、一次函数的单调性是解题的关键．