Question

在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围．

Answer 1

解题思路：设出B、C两点坐标，得到直线BC方程x=-ky+m，，把直线BC方程与抛物线方程联立，化为一元二次方程，由韦达定理求出BC中点，应用中点在对称轴上，且判别式大于0，可求出k的取值范围．

设B、C关于直线y=kx+3对称，故可设直线BC方程为x=-ky+m，代入y²=4x，得 y²+4ky-4m=0．

设B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），则 BC中点M（x₀，y₀），则y₀=

y1+y2

2=-2k，x₀=2k²+m．

∵点M（x₀，y₀）在直线l上，∴-2k=k（2k²+m）+3，∴m=-

2k3+2k+3

k．

又∵BC与抛物线交于不同两点，∴△=16k²+16m＞0．

把m代入化简得

k3+2k+3

k＜0，即

(k+1)(k2−k+3)

k＜0，解得-1＜k＜0．

点评：

本题考点： 与直线关于点、直线对称的直线方程．

考点点评： 本题考查点关于线的对称问题，两条直线垂直的性质，中点公式的应用，属于中档题．