在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求k的取值范围.

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  • 解题思路:设出B、C两点坐标,得到直线BC方程x=-ky+m,,把直线BC方程与抛物线方程联立,化为一元二次方程,由韦达定理求出BC中点,应用中点在对称轴上,且判别式大于0,可求出k的取值范围.

    设B、C关于直线y=kx+3对称,故可设直线BC方程为x=-ky+m,代入y2=4x,得 y2+4ky-4m=0.

    设B(x1,y1)、C(x2,y2),则 BC中点M(x0,y0),则y0=

    y1+y2

    2=-2k,x0=2k2+m.

    ∵点M(x0,y0)在直线l上,∴-2k=k(2k2+m)+3,∴m=-

    2k3+2k+3

    k.

    又∵BC与抛物线交于不同两点,∴△=16k2+16m>0.

    把m代入化简得

    k3+2k+3

    k<0,即

    (k+1)(k2−k+3)

    k<0,解得-1<k<0.

    点评:

    本题考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程.

    考点点评: 本题考查点关于线的对称问题,两条直线垂直的性质,中点公式的应用,属于中档题.