Question

（2006•浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=4

Answer 1

解题思路：（1）试着把28、2012写成平方差的形式，解方程即可判断是否是神秘数；

（2）化简两个连续偶数为2k+2和2k的差，再判断；

（3）设两个连续奇数为2k+1和2k-1，则（2k+1）²-（2k-1）²=8k=4×2k，即可判断两个连续奇数的平方差不是神秘数．

（1）设28和2012都是“神秘数”，设28是x和x-2两数的平方差得到，

则x²-（x-2）²=28，

解得：x=8，∴x-2=6，

即28=8²-6²，

设2012是y和y-2两数的平方差得到，

则y²-（y-2）²=2012，

解得：y=504，

y-2=502，

即2012=504²-502²，

所以28，2012都是神秘数．

（2）（2k+2）²-（2k）²=（2k+2-2k）（2k+2+2k）=4（2k+1），

∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍．

（3）设两个连续奇数为2k+1和2k-1，

则（2k+1）²-（2k-1）²=8k=4×2k，

即：两个连续奇数的平方差是4的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数为4的奇数倍这一条件．

∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．

点评：

本题考点： 平方差公式．

考点点评： 此题首先考查了阅读能力、探究推理能力．对知识点的考查，主要是平方差公式的灵活应用．