Question

（2013•湖北一模）已知数列{an}满足：a1＝−23，an+1＝−2an−33an+4（n∈N+）．

Answer 1

解题思路：（1）由数列递推式两边加上1，再取倒数，即可证得数列

{

1

a

n

+1

}

是等差数列，从而可求{a_n}的通项公式；

（2）确定数列的通项．利用错位相减法，即可求{b_n}的前n项和S_n．

（1）证明：因为[1

an+1+1＝

1

−2an−3

3an+4+1＝

3an+4

an+1＝3+

1

an+1

所以

1

an+1+1−

1

an+1＝3

所以{

1

an+1}是首项为3，公差为3的等差数列，

所以

1

an+1=3n，

所以an＝

1/3n−1；

（2）由已知bn＝

3n

an+1＝3n+1n

∴Sn＝32×1+3^×2+…+3n×(n−1)+3n+1×n①3Sn＝33×1+34×2+…+3n+1×(n−1)+3n+2×n②

①-②得−2Sn＝32+3^+…+3n+1−3n+2×n=

32(3n−1)

3−1−3n+2×n

所以Sn＝

3n+2−9

−4+

n

23n+2=

(2n−1)

43n+2+

9

4]．

点评：

本题考点： 数列递推式；等差关系的确定；数列的求和．

考点点评： 本题考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．