直接计算如下：
Ι=∫∫（∑1上）+∫∫（∑2上）+∫∫（∑3上）
其中∑1：y=1,下侧（化为二重积分时有负号）
∑2：y=2,上侧
∑3：y=z^2+x^2,下侧（化为二重积分时有负号）
先求∫∫（∑1上）：
解y=z^2+x^2与y=1得z^2+x^2=1,得∑1在xoz面的投影为D1：z^2+x^2≤1,在极坐标下D1：0≤Θ≤2Π,0≤r≤1,
于是∫∫（∑1上）=（曲线积分代入y=1）∫∫（∑1上）e/√（z^2+x^2）dxdz
=（化为二重积分）-∫∫（D1上）e/√（z^2+x^2）dxdz
=（化为极坐标下定积分）-∫（0到2Π）dΘ∫（0到1）er/rdr=（积出）-2Πe.
同理求∫∫（∑2上）：
解y=z^2+x^2与y=2得z^2+x^2=2,得∑2在xoz面的投影为D2：z^2+x^2≤2,在极坐标下D2：0≤Θ≤2Π,0≤r≤√2,
于是∫∫（∑2上）=（曲线积分代入y=2）∫∫（∑2上）e^√2/√（z^2+x^2）dxdz
=（化为二重积分）∫∫（D2上）e^√2/√（z^2+x^2）dxdz
=（化为极坐标下定积分）∫（0到2Π）dΘ∫（1到2）re^√2/rdr=（积出）2√2Πe^√2.
再求∫∫（∑3上）：
解y=z^2+x^2,y=1与y=2得z^2+x^2=1及z^2+x^2=2,得∑3在xoz面的投影为D3：1≤z^2+x^2≤2,在极坐标下D3：0≤Θ≤2Π,1≤r≤√2,
于是∫∫（∑3上）=（曲线积分代入y=z^2+x^2）∫∫（∑3上）e^√（z^2+x^2）/√（z^2+x^2）dxdz
=（化为二重积分）-∫∫（D3上）e^√（z^2+x^2）/√（z^2+x^2）dxdz
=（化为极坐标下定积分）-∫（0到2Π）dΘ∫（1到√2）re^r/rdr=（积出）-2Π（e^√2- e）.
故原式I=∫∫（∑1上）+∫∫（∑2上）+∫∫（∑3上）
= -2Πe+2√2Πe^√2-2Π（e^√2- e）=2Πe^√2（√2-1）.