解题思路：（1）由
a
n+1
−1
a
n+1
−2
＝
3
a
n
−2
a
n
−1
3
a
n
−2
a
n
−2
＝
2(
a
n
−1)
a
n
−2
，
a
1
−1
a
1
−2
＝2≠0
，由此能够证明数列
{
a
n
−1
a
n
−2
}
为等比数列，并能求出数列{an}的通项公式．
（2）
b
n
＝
a
n
(
a
n+1
−2)＝
2
n+1
−1
2
n
−1
(
2
n+2
−1
2
n+1
−1
−2)＝
1
2
n
−1
，所以当n≥2时，
b
n
＝
1
2
n
−1
＝
1
2
n−1
+
2
n−1
−1
＜
1
2
n−1
，由此能证明Sn＜2．
（3）
c
n
＝
n
2
(
a
n
−2)＝
n
2
2
n
−1
⇒
c
n
c
n+1
＝
n
2
(n+1)
2
(
2
n
−1)(
2
n+1
−1)
，令
c
n+1
c
n+2
c
n
c
n+1
＝
c
n+2
c
n
＝
(n+2)
2
2
n+2
−1
×
2
n
−1
n
2
＞1
，所以[（n+2）2-4n2]2n＞（n+2）2-n2，解得n=1，由此能够求出cncn+1的最大值．
（1）证明：∵
an+1−1
an+1−2＝
3an−2
an−1
3an−2
an−2＝
2(an−1)
an−2，（2分）
又
a1−1
a1−2＝2≠0，
∴{
an−1
an−2}等比数列，且公比为2，（3分）
∴
an−1
an−2＝2n，
解得an＝
2n+1−1
2n−1．（4分）
（2）证明：bn＝an(an+1−2)＝
2n+1−1
2n−1(
2n+2−1
2n+1−1−2)＝
1
2n−1，（5分）
∴当n≥2时，bn＝
1
2n−1＝
1
2n−1+2n−1−1＜
1
2n−1（6分）
Sn＝b1+b2+b3+…+bn＜1+
1
2+
1
22+…+
1
2
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比数列的前n项和；等比关系的确定．
考点点评： 本题考查数列与不等式的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，计算量大，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意计算能力的培养．