Question

已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，且k1•k2=-

Answer 1

解题思路：（1）根据直线PA，PB的斜率分别是k₁，k₂，且k₁•k₂=-[1/4]，建立方程，化简即可得到动点P的轨迹C的方程；

（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及k_BM•k_BN=-[1/4]，求出m的值，即可得到结论．

（1）由题意得[y/x+2]•[y/x−2]=-[1/4]（x≠±2），即x²+4y²-4=0．

所以点P的轨迹C的方程为

x2

4+y²=1（x≠±2）．

（2）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

联立方程

y＝kx+m

x2

4+y2＝1，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0．

所以x₁+x₂=[−8km

4k2+1，x₁x₂=

4m2−4

4k2+1．

所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

m2−4k2

4k2+1．

又k_BM•k_BN=-

1/4]，即

y1

x1−2•

y2

x2−2=-[1/4]，

即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+4y₁y₂=0．

代入并整理得m（m+2k）=0，即m=0或m=-2k，

当m=0时，直线l恒过原点；

当m=-2k时，直线l恒过点（2，0），但不符合题意．

所以直线l恒过原点．

点评：

本题考点： 轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．