Question

基本不等式 a^3+b^3+c^3>=3abc

Answer 1

a^3+b^3+c^3-3abc

=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc

=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)^2-c(a+b)+c^2)-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)

=(1/2)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)(a+b+c)

=(1/2)((a+b)^2+(b+c)^2+(a+c)^2)(a+b+c)

因为a.b.c是正实数,所以a+b+c>0.

而且(a+b)^2+(b+c)^2+(a+c)^2≥0

因此a^3+b^3+c^3-3abc≥0

即a^3+b^3+c^3≥3abc