Question

若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M

Answer 1

解题思路：（1）只要能找到满足定义f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）的x₀的值即可说明其成立．

（2）函数具有性质M说明存在x₀，使h（x₀+1）=h（x₀）+h（1），整理成（a-2）x₀²+2ax₀+2a-2=0有实根．再分情况讨论二次项系数即可求得a的取值范围．

（1）证明：f（x）=2^x代入f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）得：

2x0+1=2x0+2，（2分）

即：2x0=2，解得x₀=1．（5分）

所以函数f（x）=2^x具有性质M．（6分）

（2） h（x）的定义域为R，且可得a>0．

因为h（x）具有性质M，所以存在x₀，

使h（x₀+1）=h（x₀）+h（1），

代入得：lg

a

(x0+1)2+1=lg

a

x02+1+lg

a

2．

化为2（x₀²+1）=a（x₀+1）²+a，

整理得：（a-2）x₀²+2ax₀+2a-2=0有实根．

①若a=2，得x0=-

1

2．（8分）

②若a≠2，得△≥0，即a²-6a+4≤0，解得：a∈[3-

5，3+

5]，

所以：a∈[3-

5，2)∪(2，3+

5]．

（若未去掉a=2，扣1分）（14分）

综上可得a∈[3-

5，3+

5]．（16分）

点评：

本题考点： 指数函数综合题；对数的运算性质．

考点点评： 本题是在新定义下对函数的综合考查．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．